Notes on [Mao, Yuan2004]
齐次Markov过程 (homogeneous Markov process)
\Pr ( X_{k + 1} \in A \mid X_k = x ) = \Pr ( X_1 \in A \mid X_0 = x ) = P (x , A) \quad k \in \mathbb{N}，也即单步转移概率(transition probability)不随时间
变化而变化。
稳态分布 (stability in distribution)
对于给定的步长\Delta t > 0，都存在一个概率测度\pi : \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ) \longrightarrow [ 0, 1 ]（依赖于步长）使得
[ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall A \in \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ) \ \left( \lim_{k \to + \infty} P^k (x , A) = \pi ( A ) \right) ]
此时称由(1.2)计算得出的数值解具有稳态分布。
大三本科生史可与我证明了可以找到满足条件的B并且|B|=O(\frac{n}{\ell} \log n) 。文章可以这里提取。
我很喜欢这个结果，耗时几个月，每次都是过段时间突然有个新想法于是做了点提高。最后的版本和之前的版本差距还蛮大的。以前的文章的最好结果是\ell不是太小或者太大的时候B的大小为O(\frac{n}{\ell}\log n\log \log n)。我们刚开始消灭了\ell不是太小的需求，之后一段时间消灭了\ell不是太大的需求。那个时候史可就在我们每周seminar上做了个presentation（有slides）。最近一个月突然想通了如何再消掉一个\log \log n，并且大大简化之前的结论。有兴趣的可以看全文。